Christian Krattenthaler

En 2018, Dan Romik a considéré les coefficients de Taylor
de la fonction thêta de Jacobi $\theta_3(\tau)$ en $\tau=i$ et a montré
que, sous une certaine normalisation, ces coefficients deviennent
des entiers. Il a conjecturé que, modulo toute puissance d'un nombre
premier $p$, ces coefficients sont ultimement périodiques, et si $p$ est
congru à 3 modulo 4 alors, plus précisément, ces coefficients sont
ultimement nuls modulo toute puissance fixe de $p$.

J'expliquerai d'abord que, en un sens, la périodicité était déjà connue
(dans un contexte plus général), mais très cachée (et personne ne l'a
remarqué). L’argument correspondant ne fournit cependant que des
bornes astronomiques sur la longueur de la période, et il ne peut pas
déterminer si la suite finira par s'annuler modulo une puissance
première.

Je présenterai ensuite un travail commun avec Thomas W. M\"uller dans
lequel nous prouvons toutes les conjectures de Romik avec
des bornes raisonnablement bonnes sur la longueur des périodes,
respectivement sur le début de l'annulation. De plus, nous montrons que
des résultats similaires sont valables pour la fonction thêta de Jacobi.
$\theta_2(\tau)$, pour toutes les séries d'Eisenstein et pour des
formes modulaires de poids pair.

Je terminerai par quelques conjectures sur les longueurs exactes des
périodes, respectivement sur le début de l'annulation.