Thomas Ourmières-Bonafos

En physique mésoscopique les semi-conducteurs peuvent être modélisés par des opérateurs de Schrödinger dans des tubes (aussi appelés guides d’ondes) ou dans des couches avec conditions de Dirichlet aux bords. L’existence d’états bornés pour le Laplacien de Dirichlet dans de tels systèmes est importante en pratique car le spectre discret peut être vu comme un défaut dans le propagation.

De tels systèmes ont déjà été étudiés et, lorsque ces tubes ou ces couches sont suffisamment réguliers, l’existence de spectre discret est intimement liée à la courbure de telles structures.

Dans cet exposé, on s’intéressera à un cas particulier où la courbure n’est pas régulière : une couche limitée par deux cônes coaxiaux infinis et de même ouverture. Le spectre discret du Laplacien de Dirichlet dans de telles couches coniques sera étudié à travers deux aspects.
Dans un premier temps on montrera que pour toute ouverture, les valeurs propres sont en nombre infini et on précisera leur accumulation sous le seuil du spectre essentiel.
Dans un second temps on se focalisera sur le régime de petite ouverture pour lequel le problème admet une reformulation semi-classique. Une stratégie de type Born-Oppenheimer permet, dans ce régime, de localiser les fonctions propres dans le guide, ce qui nous permettra d’établir un développement asymptotique à deux termes des premières valeurs propres.