Diffusions et polynômes orthogonaux

Pour décrire des fonctions et étudier des équations d'évolution ou des
propriétés fonctionnelles, il est commode d'écrire les fonctions dans des
bases orthonormées pour une certaine mesure de référence. Les bases les plus
souvent utilisées dans $R^n$ sont de deux types : les polynômes orthogonaux ou
bien les bases de vecteurs propres de certains opérateurs symétriques.

En probabilité, les opérateurs qui nous intéressent sont des opérateurs
différentiels du second ordre, de la forme
$$
L(f)(x) = \sum_{ij} a^{ij}(x) \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}
+ \sum_i b_i(x) \frac{\partial f}{\partial x_i}
$$

Ce sont ceux qui gouvernent les lois des processus de Markov continus (qu'on
appelle diffusion) en résolvant l'équation de la chaleur associée
$\partial_t f = Lf$.

Une question naturelle est donc de déterminer quand ces deux notions
coïncident.

En dimension 1, il n'y a pas beaucoup d'exemples : il s'agit essentiellement
des polynômes de Jacobi, de Laguerre et de Hermite. Le premier exemple a comme
espace d'états un intervalle borné, le second $[0;\infty)$ et le troisième $R$ tout
entier. Ces trois familles sont très utilisées dans de nombreux domaines des
mathématiques, depuis la théorie des matrices aléatoires à  la mécanique des
fluides, et une gigantesque littérature leur est consacrée.

En dimension plus grande, la situation est plus riche. En dimension 2, pour
les domaines compacts (qui correspondent aux polynômes de Jacobi de la
dimension 1), il y a exactement 10 familles, à transformation affine près. Ces
domaines sont tous des domaines dont le bord est défini par des équations
algébriques de degré au plus 4. Chacun d'entre eux correspond en fait à  des
modèles géométriques qui peuvent être assez simples (groupes de symétrie d'un
espace affine, systèmes de racines), ou plus sophistiqués (provenant par
exemple de matrices aléatoires, ou de la fibration de Hopf). Certains modèles
ne sont d'ailleurs pas encore entièrement compris.

La classification en dimension supérieure reste à  faire, et on ne dispose
alors que d'exemples.

On montrera comment on arrive à  une telle classification (la formalisation du
problème est très simple, même si la solution du problème requiert des outils
un peu sophistiqués), et sur certains exemples on parlera des modèles
géométriques dont ils proviennent.