Philippe Castillon

La mesure de courbure d’un convexe est une mesure sur la sphère unité qui étend la notion de courbure de Gauss aux convexes non lisses. Le problème d’Alexandrov consiste à déterminer les convexes dont la mesure de courbure est donnée à priori.

 

Dans l’espace euclidien, A.D. Alexandrov a donné une condition nécessaire et suffisante sur la mesure donnée pour que ce problème ait une solution. Dans cet exposé je traiterai le cas des convexes de l’espace hyperbolique pour lesquels on a un résultat analogue. La preuve repose sur des outils de géométrie intégrale pour montrer que la condition est nécessaire, et sur une forme faible d’une équation de Monge-Ampère pour montrer qu’elle est suffisante.

 

Travail en collaboration avec Jérôme Bertrand.