Non-commutativité et calcul quantique

Mon travail récent a mis en évidence les symétries des règles de commutation des observables dans le groupe de Pauli général. Lorsque la dimension de lespace de Hilbert est la puissance dun nombre premier, les observables sorganisent comme les points et les lignes dun espace polaire symplectique [1]. Sinon ils forment la droite projective dun anneau fini [2]. Ainsi les quinze observables (produits tensoriels des matrices de spins) du groupe de Pauli à  deux qubits forment le quadrangle généralisé W(2), préservé par le groupe symétrique S(6). Un calcul quantique consiste à  stabiliser le groupe de Pauli P, considéré comme groupe derreurs, par une extension de groupe C, dit groupe de Clifford. Quelques portes logiques du calcul génèrent C, ainsi les portes de Hadamard et de phase pour le groupe de Clifford à  un qubit, auxquelles on ajoute la porte CNOT pour le groupe de Clifford à  deux qubits, la porte de Toffoli pour trois qubits On montre que le langage de la théorie des groupes, commutateurs, sous-groupes normaux, groupe dautomorphismes, séquences exactes, produits couronnés sadapte bien au design du calculateur. Et on y fait apparaître des groupes parfaits exceptionnels liés aux groups de Mathieu.
[1] On the Pauli graphs on N-qudits. M Planat and M Saniga. Quantum Information and Computation, 8, 127-146 (2008)
[2] Qudits of composite dimension, mutually unbiased bases and projective ring geometry. M Planat and A C Baboin. J Phys A, Math Theor 40, F1-F8 (2007).
[3] Extensions of the Pauli groups and quantum gates. M. Planat et al (en cours).