Michel Broué

Soit GL$_n(q)$ le groupe des matrices $n \times n$ inversibles à coefficients
dans un corps fini à $q$ éléments.
L'ordre de GL$_n(q)$ est la valeur en $x=q$ du polynôme
$$
x^{n\choose 2}\prod_{i=1}^{i=n}(x^i-1)
\,.
$$
Non seulement les ordres des sous-groupes « naturels » , mais également les théorèmes
de Sylow, les dimensions des représentations irréductibles (complexes) (jusqu'aux
représentations modulaires -- représentations en caractéristique non nulle) de GL$_n(q)$
peuvent, de manière analogue, être décrits par des polynômes évalués en $x=q$.
Comme s'il y avait un objet « GL$_n(x)$ » qui se spécialiserait en GL$_n(q)$ pour $x=q$.

Des phénomènes identiques peuvent être observés pour tous les autres groupes de type
de Lie sur les corps finis, qui sont construits à partir des groupes de Weyl.

Depuis vingt ans, on a entrepris de construire des données polynomiales analogues, non
seulement pour les groupes de Weyl, mais pour les autres groupes de Coxeter finis, et
même pour des groupes engendrés par des pseudo-réflexions : c'est le programme
baptisé « Spetses », au sujet duquel on espère pouvoir dire quelques mots.