Arnaud Le Ny

Dans la construction DLR de mesures de Gibbs sur des espaces probabilisés produits infinis, en terme de cohérence de systèmes de probabilités conditionnelles sachant l’extérieur de volumes finis, la transition de phase est caractérisée par la multiplicité de mesures à volume infini, et se manifeste essentiellement par une dépendance radicale aux conditions aux bords. Les mesures ainsi définies forment un convexe de mesures de Gibbs dont les points extrémaux représentent les états macroscopiques du système interactif étudié.

Lorsque le réseau considéré est un arbre régulier, la structure hyperbolique du bord enrichit significativement la structure du convexe des mesures de Gibbs, au point que le nombre d’états extrémaux devient gigantesque et que même la structure de l’état libre, obtenu ne prescrivant pas de conditions aux bords à volume fini, s’en trouve modifiée. Cet état libre peut même être extrémal, mais lorsqu’il ne l’est pas, sa décomposition est beaucoup plus complexe que sur un réseau classique, au point qu’elle se réduit à une mesure sur un continuum de mesures extrémales.

Ce problème a été récemment formalisé rigoureusement dans le cas du modèle d’Ising, et nous décrirons dans cet exposé l’état actuel des descriptions mathématiques de ce phénomène, principalement dans le cas du modèle d’Ising mais aussi pour des modèles plus généraux, type Potts ou voire à spins non bornés pour lesquels une analyse plus précise est en cours.

Travail en collaboration avec Loren Coquille et Christof Külske (RU Bochum).