Christophe Leuridan

Soit $A$ une matrice $d \times d$ à coefficients entiers. L'application $x \mapsto Ax$ de $\mathbb{R}^d$ dans lui-même passe au quotient et définit un endomorphisme du tore $\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$. Cet endomorphisme préserve la mesure de Haar $\eta$ sur $\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$.

Lorsque $|\det A|=r \ge 2$, cet endomorphisme est "$r$ en un" : si $X$ est une variable aléatoire de loi $\eta$, la loi de $X$ sachant $T_A(X)=y$ est la loi uniforme sur l'ensemble $T_A^{-1}(\{y\})$, qui a exactement $r$ éléments. L'endomorphisme $T_A$ est-il isomorphe à $S$, où $S$ est le décalage de Bernoulli uniforme sur $\{0,...,r-1\}^\infty$?

La réponse à cette question est positive en dimension 1, avec un isomorphisme évident fourni par le développement $r$-adique des réels de l'intervalle $[0,1[$. Mihailescu a montré en 2011 que la réponse est positive en dimension quelconque lorsque $A$ est dilatante (i.e. lorsque toutes les valeurs propres sont de module >1), mais sans construire d'isomorphime explicite.

Peut-on obtenir un isomorphisme explicite en adaptant les idées de la dimension 1 ? L'approche classique, via l'étude des pavés entiers auto-affines fournit des résultats partiels : l'endomorphisme $T_A$ est un facteur de $S$, et l'application facteur est "$m$ en $1$" pour un certain entier $m$ qui est la mesure de Lebesgue du pavé auto-affine utilisé.

Une autre approche, via l'étude d'une chaîne de Markov stationnaire sur $\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ dont l'évolution à chaque pas consiste à choisir au hasard un antécédent par $T_A$, fournit également des résultats partiels : le décalage de Bernoulli $S$ est un facteur de l'endomorphisme $T_A$, et l'application facteur est "$s$ en $1$" pour un certain entier $s$.

Les deux méthodes fournissent un isomorphisme (pas le même) lorsque l'endomorphisme de $\mathbb{R}^d$ associé à $A^{-1}$ est contractant pour la norme infini dans la base canonique, ou plus généralement dans une $\mathbb{Z}$-base de $\mathbb{Z}^d$.

Dans ce premier exposé, nous verrons l'une des deux approches, l'autre faisant l'objet d'un exposé ultérieur.